একটি সরল দোলকের ববের ভর 5gm এবং কার্যকর দৈর্ঘ্য 13cm। ববটিকে সাম্যবিন্দুগামী উল্লম্ব রেখা থেকে 5cm দূরে টেনে ছেড়ে দেয়া হলে,

i. সাম্যবিন্দু অতিক্রম কালে গতিশক্তি $4.9\times {10}^{-4} J$

ii. ব্যবস্থাটি শক্তির সংরক্ষণশীল নীতি মেনে চলে 

iii. ববের ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক 

নিচের কোনটি সঠিক?

একটি সরল দোলকের ক্ষেত্রে, আমরা নিম্নলিখিত বিষয়গুলো বিশ্লেষণ করব:

প্রদত্ত মানসমূহ:

    
• ববের ভর (m) = 5 gm = \(5 \times 10^{-3}\) kg
    
• কার্যকর দৈর্ঘ্য (L) = 13 cm = 0.13 m
    
• সাম্যবিন্দু থেকে সর্বোচ্চ সরণ (x) = 5 cm = 0.05 m
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 9.8 m/s² (প্রমিত মান)

i. সাম্যবিন্দু অতিক্রম কালে গতিশক্তি \(4.9 \times 10^{-4}\) J

যখন ববটিকে সাম্যবিন্দু থেকে 5 cm দূরে টেনে ছেড়ে দেওয়া হয়, তখন এটি কিছু স্থিতিশক্তি (potential energy) অর্জন করে। সাম্যবিন্দুতে পৌঁছানোর সময় এই স্থিতিশক্তি সম্পূর্ণরূপে গতিশক্তিতে (kinetic energy) রূপান্তরিত হয় (শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি অনুসারে)।

সর্বোচ্চ সরণে ববের উল্লম্ব উচ্চতা (h) নির্ণয় করতে হবে। যদি দোলকের উল্লম্ব রেখা থেকে সর্বোচ্চ কৌণিক সরণ \(\theta\) হয়, তাহলে

\(\sin\theta = \frac{x}{L} = \frac{0.05}{0.13}\)

এখন, \(\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{0.05}{0.13}\right)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2}\)

\(\cos\theta = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169-25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\)

উল্লম্ব উচ্চতা \(h = L - L\cos\theta = L(1-\cos\theta)\)

\(h = 0.13 \left(1 - \frac{12}{13}\right) = 0.13 \left(\frac{1}{13}\right) = 0.01\) m

সুতরাং, সর্বোচ্চ সরণে অর্জিত স্থিতিশক্তি = \(mgh\)

\(= 5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times 0.01\)

\(= 4.9 \times 10^{-4}\) J

শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি অনুযায়ী, সাম্যবিন্দু অতিক্রমকালে গতিশক্তি এই স্থিতিশক্তির সমান হবে।

সুতরাং, বিবৃতি i সঠিক।

ii. ব্যবস্থাটি শক্তির সংরক্ষণশীল নীতি মেনে চলে

একটি আদর্শ সরল দোলকের ক্ষেত্রে, ঘর্ষণ বা বায়ু প্রতিরোধ উপেক্ষা করা হলে, যান্ত্রিক শক্তি (স্থিতিশক্তি ও গতিশক্তির সমষ্টি) সর্বদা সংরক্ষিত থাকে। বব যখন সর্বোচ্চ উচ্চতায় থাকে তখন তার স্থিতিশক্তি সর্বোচ্চ এবং গতিশক্তি শূন্য। আবার যখন বব সাম্যবিন্দু অতিক্রম করে তখন তার গতিশক্তি সর্বোচ্চ এবং স্থিতিশক্তি সর্বনিম্ন (শূন্য ধরা যেতে পারে)। তাই সরল দোলকের গতিশক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি মেনে চলে।

সুতরাং, বিবৃতি ii সঠিক।

iii. ববের ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক

একটি সরল দোলকের উপর ক্রিয়ারত প্রত্যয়নী বল (restoring force) হলো \(F = -mg\sin\theta\)।

যদি দোলন কোণ \(\theta\) খুব ছোট হয়, তাহলে \(\sin\theta \approx \theta\)।

আমরা জানি, \(\theta = \frac{x}{L}\), যেখানে x হলো সাম্যবিন্দু থেকে সরণ।

তাহলে, \(F \approx -mg\left(\frac{x}{L}\right)\)

এবং ত্বরণ \(a = \frac{F}{m} = -\frac{mgx}{mL} = -\frac{g}{L}x\)

যেহেতু \(g\) এবং \(L\) ধ্রুবক, তাই \(a \propto -x\)। অর্থাৎ, ববের ত্বরণ সাম্যবিন্দু থেকে তার সরণের সমানুপাতিক এবং সরণের বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে। এটি সরল ছন্দিত গতির (Simple Harmonic Motion - SHM) একটি মৌলিক শর্ত। যদিও এখানে সরণ 5 cm (13 cm এর সাপেক্ষে একটি মাঝারি কোণ, \(\arcsin(5/13) \approx 22.6^\circ\)), উচ্চ মাধ্যমিক স্তরে সাধারণত সরল দোলকের গতিকে সরল ছন্দিত গতি হিসেবেই বিবেচনা করা হয় এবং এই সমানুপাতিক সম্পর্ককে সঠিক ধরা হয়।

সুতরাং, বিবৃতি iii সঠিক।

যেহেতু তিনটি বিবৃতিই সঠিক, তাই সঠিক উত্তরটি হলো i, ii ও iii।